“当p≡1(mod 6)时,p�0�5≡1(mod 24)。”

“当p≡5(mod 6)时,p�0�5≡25≡1(mod 24)。”

“所以p�0�5-1≡0(mod 24)。”

教室里响起倒吸冷气的声音。

陆安安的手指攥的生疼。

【她怎么可能想的这么快?】

阎正看向陆昭昭。

“第三种呢?”

陆昭昭放下粉笔,拿起另一支不同颜色的粉笔。

“第三种,直接验证。”

她转身面对黑板。

“质数p＞3,则p=6k±1的形式。”

“当p=6k+1时,p�0�5-1=(6k+1)�0�5-1=36k�0�5+12k=12k(3k+1)。”

“3k与3k+1中必有一个为偶数,所以12k(3k+1)能被24整除。”

“当p=6k-1时,同理可证。”

教室里鸦雀无声。

陆昭昭转身走回座位。

陆安安的脸色惨白。

【不可能。】

【她怎么能想到这么多方法?】

阎正看着黑板上三种解法,眼中闪过赞赏。

“三种方法各有特点。第一种直观,第二种系统,第三种严密。”

他转身在黑板上写下第二道题。

“下一题:证明存在无穷多个形如4k+1的质数。”

教室里安静下来。

陆安安盯着题目,脑海中一片空白。

【这道题……】

【我没见过。】

她侧头看向陆昭昭。

陆昭昭已经在草稿纸上写下第一行。

十五分钟后。

阎正放下粉笔。

“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”

教室里只有沙沙的写字声。

又过了十分钟。

阎正看向全班。

“谁有思路?”

阎正直接看向最后一排。

“陆昭昭?”

陆昭昭放下笔。

“我写了一个证明,但用到了一个结论,不确定是否超出竞赛范围。”

阎正点点头。

“你先讲讲思路。”

陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。

“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p�6�9,p�6�0,…,p�6�3。”

她的字迹工整。

“构造数N=(2p�6�9p�6�0…p�6�3)�0�5+1”

“注意到N≡1(mod 4),所以N是4k+1型的。”

她继续写道:

“N＞1,必有质因子。设q是N的任一质因子。”

“如果q=2,则2|(2p�6�9p�6�0…p�6�3)�0�5+1,但(2p�6�9p�6�0…p�6�3)�0�5是偶数,加1是奇数,矛盾。”

“所以q是奇质数。”

“如果q是4k+3型的,那么N的所有质因子都是4k+3型,则N也是4k+3型,与N≡1(mod 4)矛盾。”

“所以q必是4k+1型的质数。”

她停顿了一下。

“但q不在{p�6�9,p�6�0,…,p�6�3}中,因为N除以任何p�5�6都余1。”

“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”

陆昭昭放下粉笔。

“但这个证明用到了'4k+3型质数的乘积还是4k+3型'这个性质,需要单独证明。”

阎正点点头。